Question

【题目】如图，在边长为2的正方形BCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE⊥BF；③CF2＝PEBF；④线段MN的最小值为﹣1．其中正确的结论有_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，得到∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断②，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE可判断③；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断④．

解：如图，

∵动点F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，故②正确；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴，

∴CFBE＝PEBF，

∵CF＝BE，

∴CF2＝PEBF，故③正确；

∵点P在运动中保持∠APB＝90°，

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，

设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△BCG中，CG＝，

∵PG＝AB＝1，

∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，

即线段CP的最小值为﹣1，故④正确；

故答案为：①②③④．