【题目】如图,在中,,,以为边在外作正方形,、交于点,则线段的最大值为_______.
【答案】
【解析】
过O作OF⊥AO且使OF=AO,连接AF、CF,可知△AOF是等腰直角三角形,进而可得AF=AO,根据正方形的性质可得OB=OC,∠BOC=90°,进而可得∠AOB=∠COF,进而可得△AOB≌△COF,即可证明AB=CF,当点A、C、F三点不共线时,根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时可得AC+CF=AC+AB=AF=6,即可得AF的最大值,由AF=AO即可得答案.
如图,过O作OF⊥AO且使OF=AO,连接AF、CF,
∴∠AOF=90°,△AOF是等腰直角三角形,
∴AF=AO,
∵四边形BCDE是正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90°,
∵∠BOC=∠AOF=90°,
∴∠AOB+∠AOC=∠COF+∠AOC,
∴∠AOB=∠COF,
又∵OB=OC,AO=OF,
∴△AOB≌△COF,
∴CF=AB=4,
当点A、C、F三点不共线时,AC+CF>AF,
当点A、C、F三点共线时,AC+CF=AC+AB=AF=6,
∴AF≤AC+CF=6,
∴AF的最大值是6,
∴AF=AO=6,
∴AO=.
故答案为:
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【题目】如图,已知直线l:y=x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点A1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;……按此作法继续下去,则点A2020的坐标为______________.
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【题目】如图①,抛物线交正半轴于点,将抛物线先向右平移个单位,再向下平移个单位得到抛物线,与交于点,直线交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是抛物线上(含端点)间的一点,作轴交抛物线于点,连按,.当的面积为时, 求点的坐标;
(3)如图②,将直线向上平移,交抛物线于点、,交抛物线于点、,试判断的值是否为定值,并说明理由.
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【题目】如图,抛物线与轴交于点,与轴的交点在点与点之间(不包括这两点),对称轴为直线.有下列结论:
①;②;③;④若点,在抛物线上,则.其中正确结论的个数是()
A.B.C.D.
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【题目】问题探究
(1)如图①,已知与直线,过作于点,,的半径为,则圆上一点到的距离的最小值是______;
(2)如图②,在四边形中,,,,,过点作一条直线交边或于,若平分四边形的面积,求的长;
问题解决
(3)如图③所示,是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图,,,//,CD⊥BC,点为的中点,所对的圆心角为.管理人员想在上确定一点,在四边形区域种植花卉,其余区域种植草坪,并过点修建一条小路,把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分,分别种植不同的花卉.问是否存在满足上述条件的小路?若存在,请求出的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数的图象与轴的交点坐标为和.
(1)求和(用的代数式表示);
(2)若在自变量的值满足的情况下,与其对应的函数值的最大值为1,求的值;
(3)已知点和点.若二次函数的图象与线段有两个不同的交点,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,已知二次函数:和二次函数:图象的顶点分别为、,与轴分别相交于、两点(点在点的左边)和、两点(点在点的左边),
(1)函数的顶点坐标为______;当二次函数,的值同时随着的增大而增大时,则的取值范围是_______;
(2)判断四边形的形状(直接写出,不必证明);
(3)抛物线,均会分别经过某些定点;
①求所有定点的坐标;
②若抛物线位置固定不变,通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线应平移的距离是多少?
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【题目】如图①,在中,,点,分别是边,上的点,且.
(1)若,,设,,求关于的函数关系式;
(2)如图②,,于点,于点,于点,点在线段上,,,,,求的长.
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