Question

16．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞-1；
④关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一个根为-$\frac{1}{a}$
其中正确的结论个数有①③④ （填序号）

Answer 1

分析 由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把-$\frac{1}{a}$代入方程整理可得ac²-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．

解答 解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以-$\frac{b}{2a}$＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，故③正确；
假设方程的一个根为x=-$\frac{1}{a}$，把x=-$\frac{1}{a}$代入方程可得$\frac{1}{a}$-$\frac{b}{a}$+c=0，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac²-bc+c=0，
即方程有一个根为x=-c，
由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个：①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．