Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=

15

．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析：（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；
（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．

解答：（1）证明：连接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴

AM

CM

=

EM

BM

，
∴AM•BM=EM•CM；

（2）解：∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=DC²，
∵DE=

15

，CD=8，且EC为正数，
∴EC=7，
∵M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∵AM•BM=EM•CM=EM（EC-EM）=EM（7-EM）=12，且EM＞MC，
∴EM=4；

（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵OE=4，EM=4，
∴OE=EM，
∴OF=FM=1，
∴EF=

42-12

=

15

，
∴sin∠EOB=

15

4

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理，锐角三角函数定义、勾股定理的知识点，本题关键根据已知条件和图形作好辅助线，结论就很容易求证了．