解:(1)由题意可得,对称轴为
,
由对称性可得B点坐标为(1,0)
则设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),
又过点 C(0,
),代入可解得
则解析式为
,
即
(2)∵M、N点的运动速度相同,∴BM=BN=t,
又由翻折可得,NB=NP=t,MB=MP=t
∴四边形BMPN是菱形,∴PN平行MN(即x轴)
∴△CPN相似于△CAB.
∴
易得AB=4,BC=2
∴
解得
∴NB=
,∴CN=
∴
,
代入可解得
∴
∴P
(3)在直角△AOC中,AC=
=
=2
.
设F点坐标为(1,a)
①当AF=AC时,∵AC=
,∴AE=
=2
解得:a=±2
∴F(-1,2
)或(-1,-2
);
②当CF=CA时,∴CE=
=2
解得:a=
±
.
则F的坐标是(-1,
+
)或(-1,
-
);
③当EA=EC时,E点为AC垂直平分线与对称轴的交点,中点H的坐标是(-
,
).
设直线AC的解析式是:y=kx+b,根据题意得:
,解得:
,
则AC的解析式是:y=
x+
.
∵F点为AC垂直平分线与对称轴的交点,
∴直线HF的一次项系数是-
.
设HF的解析式是y=-
x+c,把H的坐标代入得:-
×(-
)+c=
,解得:c=-
,
则HF的解析式是:y=-
x-
.
令x=-1,解得y=0,
则F的坐标是(-1,0).
总之,F的坐标是:(-1,2
)或(-1,-2
)或(-1,
+
)或(-1,
-
)或(-1,0).
分析:(1)根据当x=-4和x=2时,二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,可以求得函数的对称轴,根据A、B对称,即可求得B的坐标,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)根据M、N点的运动速度相同,可以得到BM=BN,进而根据翻折的性质证明,四边形BMPN是菱形,则△CPN相似于△CAB,根据相似三角形的性质,求得OD,PD的长度,则可以求得P的坐标;
(3)点F在对称轴上,则F的横坐标一定是-1,△ACF是等腰三角形,分AF=AC,CF=CA,EA=EC三种情况进行讨论,前两种情况利用t表示出AE,CE的长度,即可得到关于t的方程从而求解;第三种情况求得直线HF的解析式,再根据F的横坐标是-1,即可求解.
点评:本题是考查了二次函数与菱形的判定与性质,待定系数法求函数的解析式的综合应用,正确证明四边形BMPN是菱形是关键.