分析 (1)由圆周角定理得出∠BEC=90°,∠EBF=∠BCE,得出∠EBF+∠EFB=90°,再证出∠EFB=∠ACF,求出∠ACF+∠BCE=90°,即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AC,再证明△EBF∽△ECB,得出比例式$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{CB}$,得出BE=$\frac{1}{2}$CE,在Rt△BCE中,由勾股定理即可求出CE的长.
解答 (1)证明:连接BE,如图所示:
∵BC为直径,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBF+∠EFB=90°,
∵E为弧BD的中点,
∴$\widehat{DE}=\widehat{BE}$,
∴∠EBF=∠BCE,
∵AC=AF,
∴∠ACF=∠AFC,
∵∠AFC=∠EFB,
∴∠EFB=∠ACF,
∴∠ACF+∠BCE=90°,
∴OC⊥AC,
∵AC经过⊙O外端点C,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△ABC中,∵AB=5,BC=4,
∴$AC=\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=3$,
∴AF=AC=3,
∴BF=2,
∵∠EBF=∠ECB,∠BEF=∠BEC,
∴△EBF∽△ECB,
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{CB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,
∴BE=$\frac{1}{2}$CE,
∵在Rt△BCE中,根据勾股定理得:BE2+CE2=BC2,
即($\frac{1}{2}$CE)2+CE2=42,
解得:CE=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$.
点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握圆周角定理,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | $\frac{9}{2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | x≥-3且x≠1 | B. | x>-3且x≠1 | C. | x≥3 | D. | x>3 |
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