Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
（1）若AB=DC=2，BC=4，求梯形的面积；
（2）若∠A=120°，BD=BC=4

3

，求梯形的面积．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC分别交BC于E，F两点，根据已知条件可证明AD=AB=CD，△AEB≌△DFC，因为三角形ABE和矩形AEFD的面积可求出，进而求出梯形的面积；
（2）过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E，则分别构成两个直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性质求得ED，BE，AD，BD的长，再利用梯形的面积公式即可求得梯形的面积．

解答：解：（1）过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC分别交BC于E，F两点，
则四边形AEFD为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=2，
∵AB=DC，AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF=

1

2

（BC-EF）=

1

2

×（4-AD）=1，
∴AE=

AB 2-BE 2

=

3

∴S_△ABE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴梯形的面积=2S_△ABE+S_矩形AEFD=2×

3

2

+2×

3

=3

3

；

（2）过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E．
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△BDE中，∵BD=4

3

，
∴BE=

1

2

BD=2

3

，ED=BD×cos30°=6，
在Rt△BEA中，
∴AE=BE•cot60°=2

3

×

3

3

=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，
∴S_梯形=

1

2

（AD+BC）•EB=

1

2

×（4+4

3

）×2

3

=4

3

+12．

点评：本题主要考查对平行线的性质，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能把梯形转化成直角三角形和等腰三角形以及矩形是解此题的关键．