Question

19．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC=2$\sqrt{5}$，点E在边AB上，BE=2，点P是AC上的一个动点，则PB+PE的最小值为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．

解答 解：∵点B，D关于直线AC对称，
∴连接DE交AC于一点P，
则DE=PB+PE的最小值，
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$，
∴DO=2$\sqrt{5}$，
∴BD=4$\sqrt{5}$，
过D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∴AB•DF=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴DF=4，
∴AF=3
∴EF=6，
∴DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
∴PB+PE的最小值为2$\sqrt{13}$．
故答案为：2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．