如图1.菱形ABOC的对角线OA.BC交于点D.∠BOC=60°.OA=.E为AC边中点.BE与OA交于点F.点P从点O开始沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动.同时.点Q从点C出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动.当P到达点A时.P.Q同时停止运动.设运动时间为x秒. (1)若记以P.B.E.Q为顶点的四边形面积为S.分别求出点P在线段OD和在线段AF上时.S关于x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，OA=，E为AC边中点，BE与OA交于点F，点P从点O（包含顶点O）开始沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，点Q从点C（包含顶点C）出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当P到达点A时，P，Q同时停止运动，设运动时间为x秒。

（1）若记以P、B、E、Q为顶点的四边形面积为S，分别求出点P在线段OD（不含点D）和在线段AF（不含点F）上时，S关于x的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围；
（2）若以P、B、E、Q为顶点的四边形是梯形，求x的值；
（3）如图2，若点M、N分别在菱形的边OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA内部绕着点B旋转的过程中，请你探究OM+AN的值是否发生变化，若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由。

解：（1）当点P在OD上时，如图1，x的取值范围为0≤x<，过点E作EH⊥BC，则，由OA=，∠BOC=60°，OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=，∠ACD=60°，在Rt△ECH中，sin∠ECH=，∴，∴，从而有，当点P在AF上时，如图2，x的取值范围为，过点E作EH⊥BC，过点E作EG⊥AD，则，在Rt△EAG中，sin∠EAG=，∴sin30°=，从而有EG=， ∴=，综上：S=；
（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，如图3，∠PQD=∠DBE=30°， ∴，即， ∴x=，此时PB不平行QE， ∴x=时，四边形PBEQ为梯形，当PE∥BQ时，如图4，P为DC中点，∴AP=，即=，此时，BQ=2-x≠， ∴x=时，四边形PEQB为梯形；当EQ∥BP时，如图5，△QEH∽△BPD， ∴，∴，∴x=1或x=0，此时，BQ不平行于PE， ∴x=1或x=0时，四边形PEQB为梯形，综上所述，当或或1或0时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形；
（3）OM+AN的值不会发生变化，理由如下：连接BC，如图6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得△BOC和△ABC是等边三角形， ∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，又∵∠MBN=60°， ∴∠OBM=∠CBN， ∴△OBM≌△CBN， ∴OM=CN， ∴OM+AN=CN+AN=AC=2。

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图1，菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，OA=2

，E为AC边中点，BE与OA交于点F，点P从点O（包含顶点O）开始沿OA方向以每秒2

个单位长度的速度运动，同时，点Q从点C（包含顶点C）出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当P到达点A时，P，Q同时停止运动，设运动时间为x秒．
（1）若记以P、B、E、Q为顶点的四边形面积为S，分别求出点P在线段OD（不含点D）和在线段AF（不含点F）上时，S关于x的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围．
（2）若以P、B、E、Q为顶点的四边形是梯形，求x的值．
（3）如图2，若点M、N分别在菱形的边OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA内部绕着点B旋转的过程中，请你探究OM+AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由．