Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，点D为△ABC内一点，BD＝CD，∠ABD+∠ADC＝180°，若AD＝2，则AC的长为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

延长AD交BC于E，在AB上截取AF＝AD，连接DF，作AH⊥BC于H，设∠ABD＝α，先根据角度之间的转化得出∠BAD=60°，从而得出△ABE为等边三角形，进而得出△ADF也为等边三角形．利用SAS证明△BFD≌△DEC，得出EC=DF=AD，然后可求出BE的长，在等边△ABE中，根据勾股定理可得出AH的长，最后在Rt△ACH中，利用勾股定理可得出AC的长．

解：如图，延长AD交BC于E，在AB上截取AF＝AD，连接DF，作AH⊥BC于H．

设∠ABD＝α，则∠ADC＝180°﹣α，∠DBC＝60°﹣α，∠EDC=α，

∵DB＝DC，

∴∠DCB＝∠DBC＝60°﹣α，

∴∠BDC＝60°+2α，

∴∠BDE=∠BDC-∠EDC=60°+α，

又∠BDE=∠ABD+∠BAE=α+∠BAE，

∴∠BAE=60°，又∠ABE=60°，

∴△AEB是等边三角形，

∵AF＝AD＝2，

∴△ADF是等边三角形，

∴DF＝AD＝AF＝2，

∵∠FBD＝∠EDC＝α，BF＝DE，BD＝DC，

∴△BFD≌△DEC（SAS），

∴EC＝DF＝2，

∵BC＝8，

∴BE＝AB＝AE＝8﹣2＝6，

∵AH⊥EB，

∴BH＝EH＝3，

∴AH＝＝＝3，

又CH=CE+EH=2+3=5，

∴AC＝＝＝2．

故答案为：2．