Question

如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P从点A出发沿AB边由A向B以1cm/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2cm/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．连接AQ，交BD于点E．设点P运动时间为x秒．
（1）当点Q在线段BC上运动时，点P出发多少时间后，∠BEP=∠BEQ？
（2）设△APE的面积为ycm²，AP=xcm，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）当4＜x＜8时，求函数值y的范围．

Answer 1

解（1）如图1，AP=xcm，BQ=2xcm，
当∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，
∵，
∴△PEB≌△QEB（ASA），
∴PB=BQ，即8﹣x=2x，
解得：x=，
∴出发秒后，∠BEP=∠BEQ；        
（2）当0＜x≤4时，如图2，
Q在BC上，过E作EN⊥AB，EM⊥BC，
∴AD∥BC，
∴△AED∽△QEB，
∴===，
∴=，
∴，=，
∴NE=2x=，
∴S_△APE=APEN=x=，
即y=（0＜x≤4），
当4＜x＜8，Q在CD上，作QF⊥AB于F，交BD于H （如图3）
DQ=HQ=16﹣2x，
∵AD∥FQ，
∴△ADE∽QHE，
∴===，
∴==，
作EN⊥AB，
∴NE∥FQ，
∴△ANE∽△AFQ，
∴=，
∴NE=，
∴S_△APE=APEN=x=，
即y=（4＜x＜8）；
（3）当4＜x＜8时，由y=，得x=，
由4＜x＜8，可得4＜＜8，
∵y＞0，
∴16+y＞0，
∴4（16+y）＜12y＜8（16+y），16+y＜3y＜2（16+y），
即，
解得：8＜y＜32，当4＜x＜8时，8＜y＜32．