Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，-1），AB=．
（1）如图1，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与x轴的负半轴交于点C，过点A作AH⊥BC于H交y轴于D，求点D的坐标；
（2）如图2，在线段OA上有一点E满足S_△OEB：S_△EAB=1：，直线AN平分△OAB的外角交BE于N．求∠BNA的度数；
（3）如图3，动点Q为A右侧x轴上一点，另有在第四象限的动点P，动点P、Q，总满足∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ．①请画出满足题意的图形；②若点B在y轴上运动，其他条件不变，∠ABO=α，请直接用含α的式子表示∠BPQ的值（不需证明）．

Answer 1

解：（1）AC=AB=，OC=-1，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∵∠BDH=∠ODA，
∴∠HBD=∠OAH，
∴Rt△AOD∽Rt△BOC，
∴=，即=，
∴OD=-1，
∴D点坐标为（0，1-）；

（2）作EF⊥AB于F，如图2，
∵OA=OB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AE，
∵S_△OEB：S_△EAB=1：，
∴OE=OA=-1，
∴AE=OA-OE=2-，
∴EF=（2-）=-1，
∴EF=EO，
∴BE平分∠OBA，
∴∠EBA=∠OBA=22.5°，
∵直线AN平分△OAB的外角交BE于N，
∴∠NAE=（180°-45°）=67.5°，
∴∠BNA=180°-22.5°-67.5°-45°=45°；

（3）①作AB和AQ的垂直平分线，它们相交于P点，如图；
②∵∠ABO=α，
∴∠BAQ=90°+α，即∠PAB+∠PAQ=90°+α，
∵∠PAB=∠PBA，∠PQA=∠PAQ，
∴∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ=2（90°+α）=180°+2α，
∴∠BPQ=360°-（∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ）=180-2α．
分析：（1）先根据半径相等得到AC=AB=，则OC=-1，再证明Rt△AOD∽Rt△BOC，利用相似比可得到OD=-1，则可得到D点坐标为（0，1-）；
（2）作EF⊥AB于F，先判断△OAB为等腰直角三角形，得到∠OBA=∠OAB=45°，则又可判断△AEF为等腰直角三角形，于是有EF=AE，再利用S_△OEB：S_△EAB=1：，得到OE=OA=-1，所以AE=OA-OE=2-，则EF=-1=EO，根据角平分线定理的逆定理BE平分∠OBA，则∠EBA=∠OBA=22.5°，由直线AN平分△OAB的外角交BE于N得到∠NAE=67.5°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BNA的度数；
（3）①分别作AB和AQ的垂直平分线，它们的交点为P点，根据相等垂直平分线的性质得到PA=PB，PA=PQ，则∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ；
②先根据三角形外角性质得到∠BAQ=90°+α，即∠PAB+∠PAQ=90°+α，由∠PAB=∠PBA，∠PQA=∠PAQ得到∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ=180°+2α，
然后根据四边形的内角和为360°可计算出∠BPQ=180-2α．
点评：本题考查了综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质；会运用角平分线定理的逆定理证明角相等；运用三角形相似进行几何计算．