Question

7．如图，直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，m），点B是线段OA的中点，点E（n，4）在反比例函数的图象上，点F在x轴上，若∠EAB=∠EBF=∠AOF，则点F的横坐标为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据点A在直线y=2x上可以求得点A的坐标，从而可以求得点B的坐标和k的值，进而求得点E的坐标，然后根据三角形相似即可求得OF的长度，本题得以解决．

解答 解：∵直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，m），
∴m=2×3=6，
∴点A（3，6），
∴6=$\frac{k}{3}$，得k=18，
∵点B是线段OA的中点，点E（n，4）在反比例函数的图象上，
∴点B（1.5，3），4=$\frac{18}{n}$，得n=4.5，
∴点E（4.5，4），
∴AB=$\sqrt{（3-1.5）^{2}+（6-3）^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
AE=$\sqrt{（3-4.5）^{2}+（6-4）^{2}}$=$\frac{5}{2}$
OB=$\sqrt{（1.5-0）^{2}+（3-0）^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵∠EAB=∠EBF=∠AOF，
∠ABE+∠EAB+∠AEB=180°，
∠ABE+∠EBF+∠OBF=180°，
∴∠AEB=∠OBF，
∵∠EAB=∠BOF，
∴△ABE∽△OFB，
∴$\frac{AB}{OF}=\frac{AE}{OB}$，
即$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{OF}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$，
解得，OF=$\frac{9}{2}$，
即点F的横坐标是$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和三角形相似的知识解答．