Question

（2013•当涂县模拟）如图，梯形ABCD的对角线相交于点O，有如下结论：①△AOB∽△COD，②△AOD∽△BOC，③S_△AOD=S_△BOC，④S_△COD：S_△AOD=DC：AB；其中一定正确的有（　　）

A．1个?

B．2个

C．3个?

D．4个

Answer 1

分析：根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行验证，从而得到最后答案．

解答：解：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，故①正确；
∴S_△COD：S_△BOA=CO：OA=CD：AB，故④正确；
设梯形ABCD的高为h，则S_△ABD=

1

2

•AB•h，S_△ABC=

1

2

•AB•h，
∴S_△ABC=S_△ABD，
∴S_△AOD=S_△BOC，故③正确；
在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误．
故结论始终正确的序号是①③④，共3个．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．