Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．点M从点D出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动．同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P．连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．
（1）填空：AM=

4-2t

；AP=

1+t

．（用含t的代数式表示）
（2）t取何值时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的

1

3

；
（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，请问是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由DM=2t，根据AM=AD-DM即可求出AM=4-2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=3-t，则AP=AD-DP=1+t；
（2）根据梯形ABNM的面积等于梯形ABCD面积的

1

3

，得出方程

1

2

（t+4-2t）×4=

1

3

×

1

2

（3+4）×4，解方程即可；
（3）先由等腰直角三角形的性质得出∠CAD=45°，根据轴对称的性质得出QM=KM，AQ=AK，∠KAQ=90°，再根据正方形的性质得到AQ=MQ，则由等腰三角形三线合一的性质得到AM=2AP，由此列出方程4-2t=2（1+t），解方程即可．

解答：解：（1）如图1．∵DM=2t，
∴AM=AD-DM=4-2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，
∴四边形CNPD为矩形，
∴DP=CN=BC-BN=3-t，
∴AP=AD-DP=4-（3-t）=1+t；

（2）如图1．∵梯形ABNM的面积等于梯形ABCD面积的

1

3

，
∴

1

2

（t+4-2t）×4=

1

3

×

1

2

（3+4）×4，
解得t=

5

3

．
∴当t=

5

3

时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的

1

3

；

（3）存在时刻t=

1

2

，能够使四边形AQMK为正方形．理由如下：
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠CAD=45°．
∵将△AQM沿AD翻折，得△AKM，
∴QM=KM，AQ=AK，∠KAQ=2∠CAD=90°．
若四边形AQMK为正方形，则AQ=MQ，
∵NP⊥MA，
∴MP=AP，
∴AM=2AP，
∴4-2t=2（1+t），
∴t=

1

2

，
∴当t=

1

2

时，四边形AQMK为正方形．
故答案为4-2t；1+t．

点评：本题是四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．