【题目】如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=,求的值.
【答案】(1);(2)①四边形AEMF为菱形,理由详见解析;②;(3).
【解析】
试题分析:(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,则S△AEF≌S△DEF,则易得S△ABC=4S△AEF,再证明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的性质得到=()2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;(2)①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形;
②连结AM交EF于点O,如图②,设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,先证明△CME∽△CBA得到==,解出x后计算出CM=,再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF;
(3)如图③,作FH⊥BC于H,先证明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再证明△BFH∽△BAC,利用相似比可计算出x=,则可计算出FH和BH,接着利用勾股定理计算出BF,从而得到AF的长,于是可计算出的值.
试题解析:(1)如图①,
∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四边形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴=()2,即()2=,
∴AE=;
(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:
如图②,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵MF∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四边形AEMF为菱形;
②连结AM交EF于点O,如图②,
设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,
∵四边形AEMF为菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴==,即==,解得x=,CM=,
在Rt△ACM中,AM===,
∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,
∴EF=2×=;
(3)如图③,作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,
∴FH:NH=4:7,
设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=,
∴FH=4x=,BH=4﹣7x=,
在Rt△BFH中,BF==2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴=.
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【题目】将一个正整数x的首位数字与末位数字先立方再求和得到一个新数(若x<10,则直接将x立方得到新数),定义为M(x)运算.例如:M(2)=23=8,M(31)=33+13=28,M(102)=13+23=9,规定对某个正整数x进行第一次M(x)运算记作M1(x),第二次M(x)运算记作M2(x),……,第n次M(x)运算记作Mn(x),例如:M1(2)=23=8,M2(2)=83=512,M3(2)=53+23=133.
(1)求M2(3)和M2017(3);
(2)若M5n(3)=520,求正整数n的最小值.
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【题目】在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫做格点.三角形ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的弧EF与BC相切于格点D,分别交AB,AC于点E,F.
(1)直接写出三角形ABC边长AB= ;AC= ;BC= .
(2)求图中由线段EB,BC,CF及弧FE所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】家庭过期药品属于“国家危险废物”,处理不当将污染环境,危害健康.某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式,决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査.
(1)下列选取样本的方法最合理的一种是 .(只需填上正确答案的序号)
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取;②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取;③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取.
(2)本次抽样调査发现,接受调査的家庭都有过期药品,现将有关数据呈现如图:
①m= ,n= ;
②补全条形统计图;
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 ;
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点,若该市有180万户家庭,请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点.
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【题目】如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论中错误的是( )
A.FB垂直平分OCB.DE=EF
C.S△AOE:S△BCM=3:2D.△EOB≌△CMB
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【题目】(10分)某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元,销售10个篮球和20个排球的总利润为650元.
(1)求每个篮球和每个排球的销售利润;
(2)已知每个篮球的进价为200元,每个排球的进价为160元,若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个,且要求篮球数量不少于排球数量的一半,请你为专卖店设计符合要求的进货方案.
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【题目】为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度,2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米,预计到2013年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求每年市政府投资的增长率;
(2)若这两年内的建设成本不变,求到2013年底共建设了多少万平方米廉租房.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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【题目】如图,已知AE与BF相交于点D,AB⊥AE,垂足为点A,EF⊥AE,垂足为点E,点C在AD上,连接BC,要计算A、B两地的距离,甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数,各组分别得到以下数据:
甲:AC、∠ACB;
乙:EF、DE、AD;
丙:AD、DE和∠DCB;
丁:CD、∠ABC、∠ADB.
其中能求得A、B两地距离的数据有( )
A.甲、乙两组B.丙、丁两组
C.甲、乙、丙三组D.甲、乙、丁三组
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