Question

7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）若∠C=30°，判断BE与△DCE的外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=$\sqrt{3}$，BD=1，求△DCE的外接圆的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由DE是AC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠C=30°，由三角形的内角和得到∠BEC=120°，由OE=OC，得到∠OEC=∠C=30°，求得∠BEO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切割线定理得到BE²=BD•BC，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）连接OE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠C=30°，
∴∠BEC=120°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C=30°，
∴∠BEO=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）∵BE是⊙O的切线，
∴BE²=BD•BC，
即（$\sqrt{3}$）²=1•BC，
∴BC=3，
∴CD=2，
∴△DCE的外接圆的直径是2．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，切割线定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握有关知识是解题的关键．