Question

（本题10分）已知，如图，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．

【小题1】（1）求点的坐标；
【小题2】（2）求证：；
【小题3】（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】(1).    
【小题2】(2)       
【小题3】（3）  

解析考点：二次函数综合题。
分析：
（1）有两种方法，方法一是传统的点的待定系数法，方法二，通过作辅助线，构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标；
（2）也有两种方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF；方法二利用几何关系求出∠CFD=90°；
（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；①Rt△QPO∽Rt△CFD；②Rt△OPQ∽Rt△CFD，根据比例求出P点坐标。
解答：

（1）方法一：如图1，当x=-1时，y=1/4；当x=4时，y=4
∴A（-1，1/4），B（4，4）。
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则-k+b=1/4，4k+b=4
解得k=3/4，b=1。
∴直线AB的解析式为y=3/4x+1。
当x=0时，y=1
∴F（0，1）。
方法二：求A、B两点坐标同方法一，

如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x，
∵△BGF∽△BHA
∴BG/BH=FG/AH
∴（4- x）/（4-1/4）=4/5
解得x=1
∴F（0，1）。
（2）证明：
方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根据勾股定理得：CF²=CE²+EF²=1²+2²=5，
∴CF=
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF²=DE²+EF²=4²+2²=20
∴DF=2
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD²=5²=25
∴CF²+DF²=CD²
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF==，AC=5/4
∴AF=AC。
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）
（3）存在。
解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分）

又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴PM/PQ=OM/OP
∴PQ/OP=PM/OM。
设P（x，1/4x²）（x＞0），
则PM=1/4x²，OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，
PQ/OP=CF/DF=/2=1/2
∴PM/OM=1/4x²/x=1/2
解得x=2   
∴P₁（2，1）。
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，
PQ/OP=DF/CF=2/=2
∴PM/OM=1/4x²/x=2
解得x=8
∴P₂（8，16）
综上，存在点P₁（2，1）、P₂（8，16）使得△OPQ与△CDF相似。
点评：此题是一道综合性较强的题，前两问方法多，有普通的方法和新颖的方法，作合适的辅助线很重要，最后一问是探究性问题，发散思维。