分析 (1)由∠AOB=90°,根据圆心角、弧、弦的关系即可求得$\widehat{ACB}$的度数以及∠ADB的度数;
(2)连接AB,根据垂径定理得出EF是△ABD的中位线,根据三角形的中位线定理即可证得结论;
(3)作BG⊥AD,交AD的延长线于G,得出△BDG是等腰直角三角形,根据勾股定理即可求得BG和DG,进而得出AG的长,根据勾股定理求得AB的平方,然后再通过勾股定理即可求得圆的半径.
解答 解:(1)∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴$\widehat{ACB}$的度数为270°,
∴∠ADB=135°,;
(2)EF的长度不会发生变化,
理由:如图,连接AB,
∵OE⊥AD,OF⊥DB,
∴AE=DE,DF=BF,
∴EF=$\frac{1}{2}$AB,
因为AB是定值,所以EF的长度不会发生变化;
(3)如图,作BG⊥AD,交AD的延长线于G,
∵∠ADB=135°,
∴∠BDG=45°,
∴△BDG是等腰直角三角形,
∴BG=DG,
∵BD2=BG2+DG2,BD=4,
∴BG=DG=$\sqrt{\frac{B{D}^{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∴AG=D+DG=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$,
在RT△ABG中,AB2=AG2+BG2=(6$\sqrt{2}$)2+(2$\sqrt{2}$)2=80,
在RT△AOB中,AB2=OA2+OB2,
∵OA=OB,
∴2OA2=80,
∴OA=2$\sqrt{10}$.
∴⊙O的半径为2$\sqrt{10}$.
点评 本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,三角形的中位线定理以及勾股定理,作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键.
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A. | S1>S2 | B. | S1=S2 | C. | S1<S2 | D. | 不能确定 |
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