Question

12．将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD．

（1）填空：如图1，AC的长度=4$\sqrt{3}$，tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）试判断△ADC与△AEB的关系，并说明理由；
（3）如图2建立平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意得：DC∥AB，∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAB=30°，然后由勾股定理，求得AC与BD的长，
（2）根据两个含30°的直角三角板直接求出∠DAC=∠EAB=30°，∠AEB=∠ADC=120，即可得出△ADC∽△AEB．
（3）过P作出△FBP的高．△FBP面积应等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-t；则KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值．

解答 解：（1）根据题意得：DC∥AB，∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAB=30°，
∵AB=8，BC=AD=4，
∴AC=BD=4$\sqrt{3}$，∠ABD=30°，
∴tan∠ABD=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）△ADC∽△AEB，
理由：∵∠BAD=∠ABC=60°，∠BAC=∠ABD=30°，
∴∠DAC=∠CBD=∠BAC=30°，AE=BE，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=120°，
∵AC=BD，
∴ED=EC，
∴∠BDC=∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠DEC）=30°，
∵∠ADB=90°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°=∠AEB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△AEB，
（3）（3）由题意知，FP∥AE，
∴∠1=∠PFB，
又∵∠1=∠2=30°，
∴∠PFB=∠2=30°，
∴FP=BP
过点P作PK⊥FB于点K，则FK=BK=$\frac{1}{2}$FB．
∵AF=t，AB=8，
∴FB=8-t，BK=$\frac{1}{2}$（8-t）．
在Rt△BPK中，PK=BK•tan∠2=$\frac{1}{2}$（8-t）tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（8-t）．
∴△FBP的面积S=$\frac{1}{2}$•FB•PK=$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{\sqrt{3}}{6}$（8-t），
∴S与t之间的函数关系式为：
S=$\frac{\sqrt{3}}{12}$（8-t）²，
t的取值范围为：0≤t＜8

点评 此题是几何变化综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定，平移的性质，在常见的三角板的操作变形中，将几何中的平移知识，代数中的函数知识有机地进行结合，要求学生抓住问题中的内在联系进行探究．