Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．AB的垂直平分线DP交AC于点P，
（1）求证：△ABC∽△BPC；
（2）设m，n为一元二次方程x²+x-1=0的两根（m＞n）．若等腰三角形的底边与腰的比值等于m时，则称这个等腰三角形为“黄金三角形”．求证：△BPC是“黄金三角形”．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分线DP交AC于点P，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠A=36°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=72°-36°=36°，
∴∠PBC=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BPC；

（2）解：∵m，n为一元二次方程x²+x-1=0的两根（m＞n），
解方程可得：m=，n=．
∵△ABC∽△BPC，
∴，PB=BC，
设PC=x，则AC=AP+PC=BP+PC=BC+PC=BC+x，
∴，
∴BC=x，
∴AC=x，
∴==m．
∴△BPC是“黄金三角形”．
分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，即可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线DP交AC于点P，求得∠ABP的度数，即可得∠PBC=∠A=36°，即可证得：△ABC∽△BPC与△PBC是等腰三角形；
（2）由m，n为一元二次方程x²+x-1=0的两根（m＞n），即可求得m的值，又由△ABC∽△BPC，根据相似三角形的对应边成比例，设PC=x，然后求得BC与AC的长，求比值即可证得△BPC是“黄金三角形”．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义以及二次函数的解法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．