Question

17．△ABC中，E是AC边上任意一点（与A、C两点不重合），G是CB延长线上一点，且始终满足条件BG=AE，连接EG交AB于点D．
（1）如图1，若AB=BC=CA=12，且GE⊥AC，求AE的长；
（2）如图2，若CA=CB，过点E作EF⊥AB于点F．
 ①求证：DE=DG；
 ②求DF：AB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作GH∥AC交AB的延长线于H，先证明△BHG是等边三角形，可以推出DB=BH=BG=GH，再证明△ADE≌△HDG得AD=DH=2AE，AB=3AE，由此即可解决问题．
（2）如图2中，①作GH⊥AB交AB的延长线于H，先证明△EFA≌△GHB，创造条件再证明△EDF≌△GDH即可．
②由△EFA≌△GHB，△EDF≌△GDH得AF=BH，DF=DH，所以AB=FH=2FD即可解决．

解答 （1）解：如图1中，作GH∥AC交AB的延长线于H，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠HBG=60°，
∵GH∥AC，
∴∠A=∠H=60°，
∴∠H=∠HBG=60°，
∴△HBG是等边三角形，
∴BG=GH=AE，
∵GE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=∠HDG=30°，
∵∠HBG=∠BDG+∠BGD，
∴∠BDG=∠BGD=30°，
∴DB=BG=BH，
在△ADE和△HDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠H}\\{∠ADE=∠HDG}\\{AE=GH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△HDG，
∴AD=DH=2AE，
∴AB=3AE，
∵AB=12，
∴AE=4．
（2）如图2中，

①作GH⊥AB交AB的延长线于H．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=∠GHB=90°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA=∠GBH，
在△AEF和△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠GHB}\\{∠A=∠GBH}\\{AE=BG}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△GHB，
∴EF=GH，
∵EF∥GH，
∠FED=∠HGD，
在△EDF和△GDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFD=∠GHD}\\{∠EDF=∠GDH}\\{EF=GH}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDH，
∴ED=DG．
②∵△EFA≌△GHB，△EDF≌△GDH，
∴AF=BH，DF=DH，
∴AB=FH=2FD
∴DF：AB=1：2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．