如图所示.在△ABC中.∠C=90°.BC=8厘米.AC=6厘米.点P从B点出发.以每秒2厘米的速度沿BC向C点移动,点Q从C点出发.以每秒1厘米的速度沿CA向A点移动．(1)求AB的长,(2)如果点P.Q分别从B.C同时出发.设运动的时间为x秒.△PCQ的面积为y.求出y关于x的函数解析式.并写出定义域．(3)当x为何值时.△PCQ是有一个锐角为30°的直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=6厘米，点P从B点出发，以每秒2厘米的速度沿BC向C点移动；点Q从C点出发，以每秒1厘米的速度沿CA向A点移动．
（1）求AB的长；
（2）如果点P、Q分别从B、C同时出发，设运动的时间为x秒，△PCQ的面积为y，求出y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（3）当x为何值时，△PCQ是有一个锐角为30°的直角三角形？

分析（1）利用勾股定理可知AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm；
（2）根据y=$\frac{1}{2}$•PC•CQ计算即可，求出点P的运动时间即可知道自变量x的取值范围；
（3）分两种情形分别列出方程计算即可；

解答解；（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm．

（2）∵CQ=x，PB=2x，
∴y=$\frac{1}{2}$•PC•CQ=$\frac{1}{2}$（8-2x）•x=-x²+4x，
∴点P运动到点C的时间为4s，
∴0＜x＜4．

（3）①当∠QPC=30°时，易知PC=$\sqrt{3}$CQ，即8-2x=$\sqrt{3}$x，解得x=8（$\sqrt{3}$-2）．
②当∠PQC=30°时，CQ=$\sqrt{3}$PC，即x=$\sqrt{3}$（8-2x），解得x=$\frac{48-8\sqrt{3}}{11}$，
综上所述，x=8（$\sqrt{3}$-2）s或$\frac{48-8\sqrt{3}}{11}$s时，△PCQ是有一个锐角为30°的直角三角形．

点评本题考查三角形综合题、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

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