Question

如图，AB是圆O的直径，AD、BC都垂直于AB，AD=13cm，BC=16cm，DC=5cm，点P、Q是动点，点P以1cm/s的速度由A向D运动，同时Q从C向B以2cm/s的速度运动，当其中一点到达时，另一点同时停止运动．
（1）当P从A向D运动t秒时，四边形PQCD的面积S与t的关系式；
（2）是否存在时间t，使得梯形PQCD是等腰梯形？若存在求出时间t，若不存在说明理由；
（3）是否存在时间t，使得PQ与圆相切？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圆的直径AB，要求四边形PQCD的面积，只需用t表达出CQ和PD；
（2）当四边形PQCD为等腰梯形时，2t-（13-t）=6，即可求出t的值；
（3）先假设存在，构造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，则存在，若方程无解，则不存在．

解答：解：（1）如图一：过点D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四边形ADEB为矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE=

52-32

=4，即AB=4，
∴⊙O的半径为2cm．
当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t
则S_{四边形PQCD}=

1

2

（13-t+2t）×4，即S=2t+26（0≤t≤8）；

（2）当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PF⊥BC于F（如图一），
则有QF=CE=3．
则2t-（13-t）=6，
解得：t=

19

3

．

（3）存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）

作PH⊥BC于H．
∵A在⊙O上，∠A=90°，
∴AD切⊙O于A，
∵PQ切⊙O于G，
∴由切线长定理得：PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）-t=16-3t
PQ=QB+AP=16-t．
在Rt△PQH中，PQ²=PH²+QH²，即（16-t）²=16+（16-3t）²
∴t²-8t+2=0．
解得t₁=4+

14

，t₂=4-

14

，
∵0≤t≤8，
∴当t=4±

14

时，PQ与圆相切．

点评：本题考查了圆的综合题及等腰梯形的性质，解答本题的关键是用含t的式子表示出各线段的长度，另外要求我们熟练掌握等腰梯形的性质，难度较大．