Question

5．定义：我们把关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0与cx²+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一元二次方程的一对“和谐方程”．
（1）正确填写表格中的空白．

原方程	原方程的根	”和谐方程“	”和谐方程“的根
x2+6x+9=0	x1=-3，x2=-3	9x2+6x+1=0	x1=-$\frac{1}{3}$，x2=-$\frac{1}{3}$
x2-5x+6=0	x1=2，x2=3	6x2-5x+1=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=$\frac{1}{3}$
-$\frac{1}{6}$x2-$\frac{1}{6}$x+1=0	x1=2，x2=-3	x2-$\frac{1}{6}$x-$\frac{1}{6}$=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=-$\frac{1}{3}$
2x2-3x-2=0	x1=2，x2=-$\frac{1}{2}$	-2x2-3x+2=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=-2

（2）根据表1，猜想原方程的两根与“和谐方程”的两根之间关系，并证明．
（3）已知关于x的方程2016x²+bx-1=0的两根是x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2016}$．请利用（2）中的结论，解关于x的方程：（x-1）²-bx+b=2016．

Answer 1

分析 （1）根据“和谐方程”的定义写出对应的和谐方程，因式分解法求出每个方程的两个实数根；
（2）根据表中原方程与“和谐方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；
（3）先根据“和谐方程”的根的特点得出-x²+bx+2016=0，即x²-bx-2016=0的两根为x₁=-1，x₂=2016，将待求方程变形为（x-1）²-b（x-1）-2016=0，把x-1看做整体即可求解．

解答 解：（1）完成表格如下：

原方程	原方程的根	“和谐方程”	“和谐方程”的根
x2+6x+9=0	x1=-3，x2=-3	9x2+6x+1=0	x1=-$\frac{1}{3}$，x2=-$\frac{1}{3}$
x2-5x+6=0	x1=2，x2=3	6x2-5x+1=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=$\frac{1}{3}$
-$\frac{1}{6}$x2-$\frac{1}{6}$x+1=0	x1=2，x2=-3	x2-$\frac{1}{6}$x-$\frac{1}{6}$=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=-$\frac{1}{3}$
2x2-3x-2=0	x1=2，x2=-$\frac{1}{2}$	-2x2-3x+2=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=-2

（2）猜想：原方程的两根与“和谐方程”的两根互为倒数，
∵方程ax²+bx+c=0的两根为x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
“和谐方程”cx²+bx+a=0的两根为x₃=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$，x₄=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$，
∴x₁•x₄=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$=$\frac{{b}^{2}-（{b}^{2}-4ac）}{4ac}$=$\frac{4ac}{4ac}$=1，
x₂•x₃=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$=$\frac{{b}^{2}-（{b}^{2}-4ac）}{4ac}$=$\frac{4ac}{4ac}$=1，
即原方程的两根与“和谐方程”的两根互为倒数；

（3）∵方程2016x²+bx-1=0的两根是x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2016}$，
∴该方程的“和谐方程”-x²+bx+2016=0，即x²-bx-2016=0的两根为x₁=-1，x₂=2016，
则（x-1）²-bx+b=2016，即（x-1）²-b（x-1）-2016=0中x-1=-1或x-1=2016，
∴该方程的解为x₁=0，x₂=2017．

点评 本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数间的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．