Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．

（1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，AB＝6，求FD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE∥OD，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；

（2）连接BD，由切线的性质及勾股定理可求出BD的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BF＝DF，然后再在Rt△ODF中，求DF即可.

（1）证明：连接OD，如图，

∵OA＝OD，

∴∠2＝∠3，

∵AD平分∠EAB，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AE∥OD，

∵ED⊥CA，

∴OD⊥ED，

∵OD是⊙O的半径，

∴ED是⊙O的切线；

（2）连接BD，如图，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°．

∴BD＝＝2，

∵EF是⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∴∠4+∠5＝90°，

∵∠3+∠5＝90°，

∴∠4＝∠3＝∠2，

∵∠F＝∠F，

∴△FBD∽△FDA，

∴，

∴BF＝DF，

在Rt△ODF中，

∵（3+BF）2＝32+DF2，

∴（3+DF）2＝32+DF2，

∴DF＝．