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如图①,将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得△A1B1C,A1C交AB于点D,A1B1分别交于BC、AB于点E、F,连接AB1
(1)求证:△ADC∽△A1DF;
(2)若α=30°,求∠AB1A1的度数;
(3)如图②,当α=45°时,将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2,A2C2交AB于点G,B2C2交BC于点H,设CC2=x(0<x<
2
),△ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S,试求S与x的函数关系式.
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分析:(1)根据旋转变换的性质得到:∠CAD=∠FA1D,又由∠1=∠2,易证得△ADC∽△A1DF;
(2)由四点共圆的知识,易得点A、A1、B、B1均在以C为圆心半径为的圆上,又由同弧所对的圆周角相等,可求得∠AB1A1的度数;
(3)△A1B1C在平移的过程中,易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、△FBE均是等腰直角三角形,四边形AC2B2F是平行四边形,然后由勾股定理即可求得S与x的函数关系式.
解答:(1)证明:如图,根据旋转变换的性质易知:∠CAD=∠FA1D,
∵∠1=∠2,
∴△ADC∽△A1DF;

(2)解:
(法一)∵CA=CA1=CB=CB1=1,
∵点A、A1、B、B1均在以C为圆心半径为AC的圆上,
∴∠AB1A1=α=
1
2
×30°=15°

(法二)如图①,精英家教网
∵AC=B1C,
∴∠4=∠3,
∵α=30°,∠A1CB1=90°,
∴∠ACB1=120°,
∴∠4=
180°-∠ACB1
2
=30°,
∴∠AB1A1=∠CB1A1-∠4=45°-30°=15°;
(法三)如图①,
∵AC=B1C,
∴∠4=∠3,
∵∠CAB=∠CB1A1
∴∠CAB-∠3=∠CB1A1-∠4,
即∠B1AB=∠AB1A1
∵∠5=∠B1AB+∠AB1A1
∴∠5=2∠AB1A1
∵△ADC∽△A1DF,
∴∠5=α,
∴∠AB1A1=
1
2
∠5=
1
2
α=15°


(3)解:△A1B1C在平移的过程中,易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、△FBE均是等腰直角三角形,四边形AC2B2F是平行四边形,精英家教网
∵AB=
AC2+BC2
=
2

∴当α=45°时,CE=CD=
1
2
AB=
2
2

情形①:当0<x<1时(如图2所示),
△A2B2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG,
S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2F-SRt△AC2G-SRt△HB2E
∵C2C=x,
∴CH=x,AC2=1-x,B2E=HE=1-x,
∴AG=C2G=
2
2
AC2=
2
2
(1-x)=
2
2
-
2
2
x,
∴S平行四边形AC2B2F=AC2•CE=(
2
2
-
2
2
x)•
2
2
=
1
2
-
1
2
x,精英家教网
SRt△AC2G=
1
2
•AG2=
1
2
2
2
-
2
2
x) 2=
1
4
x2-
1
2
x+
1
4

SRt△HB2E=
1
2
•B2E2=
1
2
(1-x)2=
1
2
-x+
1
2
x2

∴S五边形C2HEFG=
1
2
-
1
2
x-(
1
4
x2-
1
2
x+
1
4
)-(
1
2
-x+
1
2
x2
)=-
3
4
x2+x-
1
4

情形②:当1≤x<
2
时(如图3所示),
△A2B2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG,
S直角梯形C2B2FG=S平行四边形C2B2FA-SRt△AC2G=AC2•CE-
1
2
AG2
=
1
2
-
1
2
x-(
1
4
x2-
1
2
x+
1
4
)=-
1
4
x2+
1
4
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,以及平移的性质与平行四边形的性质.题目比较复杂,特别是图形复杂,解题时要注意仔细识图,准确的应用数形结合思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:浙江省中考真题 题型:解答题

在平面直角坐标系中,如图1,将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C。
 
(1)当n=1时,如果=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。

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科目:初中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系中,如图1,将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC, 相邻两边OAOC分别落在轴和轴的正半轴上, 设抛物线<0)过矩形顶点BC.

(1)当n=1时,如果=-1,试求b的值;

(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN使EF在线段CB上,如果MN两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O.①试求当n=3时a的值;

②直接写出关于的关系式.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(本题10分)在平面直角坐标系中,如图1,将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OAOC分别落在轴和轴的正半轴上, 设抛物
<0)过矩形顶点BC.
(1)当n=1时,如果=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN使EF在线段CB上,如果MN两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O.①试求当n=3时a的值;
②直接写出关于的关系式.

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科目:初中数学 来源:2011年初中毕业升学考试(浙江金华卷)数学 题型:解答题

(本题10分)在平面直角坐标系中,如图1,将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OAOC分别落在轴和轴的正半轴上, 设抛物
<0)过矩形顶点BC.
(1)当n=1时,如果=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN使EF在线段CB上,如果MN两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O.①试求当n=3时a的值;
②直接写出关于的关系式.

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科目:初中数学 来源:2011年初中毕业升学考试(浙江舟山卷)数学解析版 题型:解答题

(本题10分)在平面直角坐标系中,如图1,将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC, 相邻两边OAOC分别落在轴和轴的正半轴上, 设抛物

<0)过矩形顶点BC.

(1)当n=1时,如果=-1,试求b的值;

(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN使EF在线段CB上,如果MN两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O.①试求当n=3时a的值;

②直接写出关于的关系式.

 

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