Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；

(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为　 　．

Answer 1

【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3) ．

【解析】

（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．

（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．

(1)AE＝CG，AE⊥GC；

证明：延长GC交AE于点H，

在正方形ABCD与正方形DEFG中，

AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，

DE＝DG，

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴AE，CG，∠1＝∠2

∵∠2+∠3＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，

∴AE⊥GC．

(2)答：成立；

证明：延长AE和GC相交于点H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，

∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴AE＝CG，∠5＝∠4；

又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，

∴∠CEH+∠7＝90°，

∴∠EHC＝90°，

∴AE⊥GC．

(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．

∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，

∴AE＝DE＝CG═DG＝FG＝，

∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，

∴△DCE≌△GND(AAS)，

∴GCD＝2，

∵S△DCG＝CDNG＝DGCM，

∴2×2＝CM，

∴CM＝GH＝，

∴MG＝CH＝＝，

∴FH＝FG﹣FG＝，

∴CF＝＝＝．

故答案为：．