Question

如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为4个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以2个单位/秒的速度向终点B点运动，点Q从B点出发以1个单位/秒的速度向终点O点运动，两个点同时出发，运动时间为t（秒）．
（1）请用t表示点P的坐标

（t，

3

t）或（t，4

3

-

3

t）

和点Q的坐标

（4-t，0）

，其中t的取值范围是

0≤t≤2或2＜t≤4

；
（2）当t=

4

5

时，PQ⊥OA；当t=

16

5

时，PQ⊥AB；当t=

2

时，PQ⊥OB；
（3）△OPQ面积为S，求S关于t的函数关系式并指出S的最大值；
（4）若直线PQ将△OAB分成面积比为3：5两部分？求此时直线PQ的解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当P在OA上，即0≤t≤2；当P在AB上，即2＜t≤4，分别过P作x轴的垂线，利用含30°的直角三角形三边的关系即可得到P点坐标；
（2）当PQ⊥AB，即∠OQP=30°，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OQ=2OP，即4-t=2•2t；当PQ⊥AB，同理得到BQ=2PB，即t=2（8-2t）；当PQ⊥OB，由（1）得P点和Q点的横坐标总是相等的，得到OQ=BQ，即4-t=t；分别解出t的值即可；
（3）分类讨论：当0≤t≤2时，S=

1

2

•（4-t）•

3

t=-

3

2

t²+2

3

t；当2＜t≤4时，S=

1

2

•（4

3

-

3

t）•（4-t）=

3

2

（t-4）²，然后根据二次函数的最值问题即可得到S的最大值；
（4）讨论：①当P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2时，若S_△OPQ=

3

8

S_△AOB；若S_△OPQ=

5

8

S_△AOB，分别建立方程，解方程求出t的值，确定P与Q的坐标，然后利用待定系数法求直线PQ的解析式；②同样的方法去求当P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4时，P与Q的坐标．

解答：解：（1）如图1，当P在OA上，即0≤t≤2时，过点P作PD⊥x轴，
∵OP=2t，△AOB是等边三角形，
∴OD=OP•cos∠AOB=2t•

1

2

=t，PD=OP•sin60°=2t•

3

2

=

3

t，
∴P（t，

3

t）；
当P在AB上，即2＜t≤4时，过点P作PE⊥x轴，
∵OA+AB=8，
∴BP=8-2t，
∴BE=

8-2t

2

=4-t，PE=4

3

-

3

t，
∴P（t，4

3

-

3

t）；
∵OB=4，
∴OE=4-t，
∴Q（4-t，0），
故答案为：（t，

3

t）或（t，4

3

-

3

t），（4-t，0），0≤t≤2或2＜t≤4；

（2）如图2，当PQ⊥AO时，
∵∠AOB=60°，
∴∠OQP=30°，
∵OP=2t，OQ=4-t，
∴OQ=2OP，即4-t=2•2t，解得t=

4

5

；
如图3，当PQ⊥AB，
∵∠ABO=60°，
∴∠PQB=30°，
∵BP=8-2t，BQ=t，
∴BQ=2PB，即t=2（8-2t），解得t=

16

5

；
如图4，当PQ⊥OB，
由（1）得P点和Q点的横坐标总是相等的，
∴OQ=BQ，即4-t=t，解得t=2；
故答案为：

4

5

；

16

5

；2；

（3）①∵当0≤t≤2时，S=

1

2

•（4-t）•

3

t=-

3

2

t²+2

3

t，
∴当t=-

2 3

2•(- 3 2 )

=2时，S有最大值，其最大值=

0-(2 3 )2

4•(- 3 2 )

=2

3

；
②当2＜t≤4时，S=

1

2

•（4

3

-

3

t）•（4-t）=

3

2

（t-4）²，
∴在2＜t≤4范围内，S随t的增大而减小，并且当t=2时，S的最大值为2

3

，
∴2＜t≤4时，S＜2

3

；
综上所述，当t=2时，S有最大值2

3

；

（4）如图4，∵AQ=OAsin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴S_△AOB=

1

2

OB•AQ=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
①当P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2时，
∵S_△OPQ=

3

8

S_△AOB，
∴-

3

2

t2+2

3

=

3 3

2

，
解得t=1或3（舍去），
此时P点坐标为（1，

3

）、Q点坐标为（3，0），
设直线PQ的解析式为：y=kx+b，
则

k+b= 3 3k+b=0

，
解得

k=- 3 2 b= 3 3 2

，
y=-

3

2

x+

3 3

2

；
若S_△OPQ=

5

8

S_△AOB，所列方程无解；
②当P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4时，S_△PQB=-

3

2

t²+2

3

t，
当S_△PQB=

3

8

S_△AOB时，即=-

3

2

t²+2

3

t=

3

8

×4

3

，
解得t=3，
此时P为（3，

3

）、Q为（1，0），
设过点PQ的直线解析式为y=kx+b，即

3k+b= 3 k+b=0

，
解得

k= 3 2 b=- 3 2

故直线PQ的解析式为：y=

3

2

x-

3

2

；
当S_△PQB=

5

8

S_△AOB时，即-

3

2

t²+2

3

t=

5

8

×4

3

时，此方程无解．

点评：本题考查的是相似形综合题，此题涉及到等边三角形的性质、三角形的面积公式、锐角三角函数的定义及用待定系数法求一次函数的解析式，涉及面较广，难度较大．