Question

（本题满分10分）
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．
【小题1】（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
【小题2】（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
【小题3】（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

Answer 1

【小题1】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx＋c，则有：
解得：，所以抛物线的解析式为y ＝x2－2x－3
【小题2】（2）令x2－2x－3＝0，解得x1＝－１，x2＝3,所以B点坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y ＝kx＋b,
则，解得，所以直线解析式是y ＝x－3．
当x＝1时，y＝－2．所以M点的坐标为（1，－2）．
【小题3】（3）方法一：要使∠PBC＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直，
又直线BC的解析式为y ＝x－3，
所以直线PC的解析式为y ＝－x－3，当x＝1时，y＝－4，
所以P点坐标为（1，－4）．
方法二：设P点坐标为（1，y），则PC2＝12＋（－3－y）2,
BC2＝32＋32；PB2＝22＋y2
由∠PBC＝90°可知△PBC是直角三角形，且PB为斜边，则有PC2＋BC2＝PB2．
所以：[12＋（－3－y）2]＋[32＋32]＝22＋y2；解得y ＝－4，
所以P点坐标为（1，－4）

解析