Question

【题目】已知抛物线与轴相交于A,B两点，其顶点为M，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图像，如图，当直线与此图像有且只有两个公共点时，则的取值范围为_____________.

Answer 1

【答案】或-1＜n＜3．

【解析】

首先根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点M，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4），得出新抛物线的解析式；求直线y=-x+n过两个边界点时对应的n的值，并求直线与新抛物线相切时的n值，继而得出n的取值范围．

解：当y=0时，y=x2-2x-3=0，

（x-3）（x+1）=0，

x= -1或3，

∴A（-1，0），B（3，0），

y=x2-2x-3=(x-1)2-4，

∴M（1，-4），

如图，作直线y= -x，

分别过A、B作直线y=-x的平行线，

当直线y=-x+n经过A（-1，0）时，1+n=0，n=-1，

当直线y=-x+n经过B（3，0）时，-3+n=0，n=3，

∴n的取值范围为：-1＜n＜3，

根据题意得：翻折后的顶点坐标为（1，4），

∴翻折后的抛物线的解析式为：y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，

当直线y=-x+n与抛物线y=-x2+2x+3只有一个公共点时，

则，

-x2+2x+3=-x+n，

-x2+3x+3-n=0，

△=9+4(3-n)=0，

n=，

综上所述：当直线y=-x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为或-1＜n＜3．