Question

【题目】如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动．

（1）当△ODP是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；

（2）求△ODP周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）

Answer 1

【答案】P 的坐标为：（2.5，4）或(3,4)或（2,4)或（8 ,4)；(2) △ODP周长=5+

【解析】试题分析：（1）当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时，分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标；（2）作点D关于BC的对称点D′，连接OD′交BC于P，则这时的△POD的周长最小，即△POD的周长=OD′+OD，根据勾股定理得到OD′的长 ，即可求得△POD的周长．

试题解析：

（1））当P1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P1C=3，

当P2O=P2D时，作P2E⊥OA，∴OE=ED=2.5；

当P3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，∴P3C=2；

当P4D=OD=5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，∴OG=8．

∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）；

(2) 作点D关于BC的对称点D′，连接OD′交BC于P，

则这时的△POD的周长最小，此时△POD的周长=OD′+OD，

∵点D是OA的中点，

∴OD=5，DD′=8，

∴OD′=，

∴△POD的周长=+5．