Question

12．已知，⊙O的半径为1，BC为⊙O的弦，直径MN⊥BC（M在劣弧BC上），A为弧BN上一动点（不与B、N重合），∠BAC=60°
（1）如图1，求BC的长；
（2）如图2，D为AC上一点且CD=AB，E为BD中点，连AE，求AE的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连BO，将BO绕B点顺时针旋转90°得到BF，当A在弧BN上运动时，EF的最小值为$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OB、OC，MN与BC交于点H．在Rt△OBH中，解直角三角形即可．
（2）如图2中，延长AE至F，使EF=AE，连接BF、DF、CF．则四边形ABFD是平行四边形，△CDF是等边三角形，再证明△BCF≌△AFD，推出BC=AF，推出AE=$\frac{1}{2}$BC即可．
（3）首先证明A、B、N、C四点共圆，由AN=BC，AE=EN，推出E是弦AN的中点，推出当弦旋转到OF⊥A′N′于E′时，FE′的长最小，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OB、OC，MN与BC交于点H．

∵∠BOC=2∠BAC=120°，
OH⊥BC，
∴∠BOH=60°，BH=CH，
∵BO=1，∠OBH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$，BH=$\sqrt{O{B}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BC=2BH=$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，延长AE至N，使EN=AE，连接BN、DN、CN．

则AN=2AE，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴四边形ABND是平行四边形，
∴AB∥DN，AB=DN，BN=AD，
∴∠CDN=∠BAC=60°，
∴∠ADN=120°，
∵AB=CD，
∴DN=CD，
∴△CDN是等边三角形，
∴CN=DN=CD=AB，∠DCN=60°，
∵BF∥AC，
∴∠BNC+∠ACN=180°，
∴∠BNC=120°，
∴∠BNC=∠ADN，
在△BCN和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=AD}\\{∠BNC=∠ADN}\\{CN=DN}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△AND（SAS），
∴BC=AN，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

（3）如图3中，

由（2）可知，∠BNC=120°，∠BAC=60°，
∴∠BNC+∠BAC=180°，
∴A、B、N、C四点共圆，
∵AN=BC，AE=EN，
∴E是弦AN的中点，
∴当弦旋转到OF⊥A′N′于E′时，FE′的长最小，连接ON
∵OB=BF，∠OBF=90°，
∴OF=$\sqrt{2}$，
∵OE′=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$，
∴EF的最小值=FE′=OF-OE′=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、四点共圆、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，第三个问题的关键是AN在旋转过程中是定值，E是AN的中点，当AN⊥OF时，EF定值最小，题目比较难，属于中考压轴题．