Question

平面直角坐标系中的梯形AOBC各顶点的坐标是A（0，4）、B（6，0）、C（4，4），过O、B、C三点的抛物线交AC于D，点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度向B运动，点Q同时从C出发，以每秒1个单位长度的速度向D运动．过Q作QM⊥AC交BD于M，连接PM．设运动时间为t秒（0≤t≤2）
（1）求直线BC的解析式；
（2）求D点的坐标；
（3）以P、Q、M为顶点的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（4）当t为何值时，△PBM是直角三角形？直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
∴y=-2x+12．

（2）∵抛物线同时经过O（0，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为：x=3；
而CD∥x轴，且C、D都在抛物线的图象上，
所以C、D关于抛物线的对称轴对称，
即D（2，4）．

（3）如图，延长QM交x轴于N；
由题意知：CQ=t，DQ=2-t，OP=3t，ON=4-t；
当Q、M、P同线，即QP⊥x轴时，P、N重合；
此时OP+CQ=AC，即：
3t+t=4，
解得t=1；
①当P在N点左侧时，0≤t＜1；
PN=ON-OP=4-t-3t=4-4t，
故S=QM•PN=（2-t）（4-4t）=2t²-6t+4；
②当P在N点右侧时，1＜t＜2；
PN=OP-ON=3t-（4-t）=4t-4；
故S=QM•PN=（2-t）（4t-4）=-2t²+6t-4；
综上可知，S、t的函数关系式为：
S=2t²-6t+4（0≤t＜1）；
S=-2t²+6t-4（1＜t＜2）．

（4）易得∠OBD=∠BDC=45°，则BD=4，DM=（2-t）；
由于∠PBM＜90°，
因此分两种情况讨论：
①∠BPM=90°，即QP⊥OB，在（3）中已求得此时t=1；
②∠BMP=90°；
Rt△BPM中，∠PBM=45°，BP=6-3t，BM=4-（2-t）=2+t；
故BP=BM，即6-3t=（2+t），
解得t=0.4．
综上可知，当t=1或0.4时，△PMB是直角三角形．
分析：（1）已知了B、C的坐标，利用待定系数法求解即可．
（2）由于抛物线同时经过O、B两点，可据此确定抛物线的对称轴，由于CD∥x轴，那么C、D也关于抛物线的对称轴对称，即可得到D点的坐标．
（3）首先要求出C、M、P在同一天直线上，即CP⊥x轴时t的值，求得t=1，那么可分两种情况考虑：
①P在直线QM左侧时（即0≤t＜1），延长QM交x轴于N，可用t表示出CQ、ON、OP的长，即可得到PN、DQ的长，易知∠OBD=∠BDC=45°，可据此求出QM的长，以QM为底、PN为高即可得到△PQM的面积表达式，从而得到关于S、t的函数关系式；
②P在直线QM右侧时（即1＜t＜2），方法同①．
（4）显然∠PBM＜90°，因此分两种情况考虑：
①∠MPB=90°，此时MP⊥OB，在（3）中已经求得此时t=1；
②∠PMB=90°，在等腰直角三角形DQM中，可用t表示出DM的长，BD的长易求得，即可得到BM的长，在等腰Rt△BPM中，BP=BM，可据此列出关于t的方程求得t的值．
点评：此题考查了矩形的性质、抛物线的性质、图形面积的求法、直角三角形的判定等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．