解:(1)①线段DE的长度不变,
由勾股定理得:AC=
=10
,
过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F,
∵∠QCF=∠ACB=∠A=∠EPA=45°,AP=CQ=t,
∴AE=PE=QF=CF,
∵QF⊥AC,PE⊥AC,
∴QF∥PE,
∴
=
,
∴DE=DF=
EF=
(EC+CF)=
(EC+AE)=
AC=5
.
②成立,
理由是:在△AEP和△CFQ中
,
∴△AEP≌△CFQ,
∴AE=CF,
∴AC=AE+CE=CF+CE=EF,
由①知:DE=DF=
EF,
∴DE=
AC,
∴成立.
(2)与①证法类似:知DE=DF,EF=AC,
∴DE=
a.
(3)当∠A=∠ACB时,
∵∠DCF=∠ACB=∠A,
在△AEP和△CFQ中
,
∴△AEP≌△CFQ,
∴AE=CF,
∴AE+EC=CF+EC,
即AC=EF,
由①知ED=DF,
∴DE=
AC,
∴故答案为:∠A=∠ACB.
分析:(1)①求出AC的值,过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F,根据AP=CQ=t和等腰直角三角形求出AE=PE=QF=CF,根据平行线分线段成比例定理求出DE=DF,即可求出答案;②根据AAS证△APE和△CFQ全等,推出CF=AE,推出AC=EF即可;
(2)与①证法类似求出DE=DF,AE=CF=
EF,推出EF=AC,代入求出即可;
(3)根据①的结论求出只要∠A=∠ACB时,就能推出AE=CF,即可求出答案.
点评:本题考查了等边三角形性质,等腰三角形的性质,勾股定理,全等三角形的性质和判定,平行线分线段成比例定理等知识点的运用,主要考查学生运用性质进行推理,能根据证明过程得出证题规律和结果规律是解此题的关键,只要掌握证①的规律,此题就能迎刃而解.