Question

如图所示，在⊙O中，

AD

=

AC

，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC²=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

Answer 1

（1）证明：∵

AD

=

AC

，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AF

AC

，即AC²=AB•AF；

（2）连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=

1

2

×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE=

OA2-OE2

=

3

cm，
∴AC=2AE=2

3

cm，
则S_阴影=S_扇形OAC-S_△AOC=

120π•22

360

-

1

2

×2

3

×1=（

4π

3

-

3

）cm²．