Question

如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，交AB、AC于点M、N，那么BM、MN、NC存在的数量关系为________．

Answer 1

BM+NC=MN
分析：由两直线平行，内错角相等得出∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，角平分线的定义得出∠OBM=∠OBC，∠OCN=∠OCB，对于相等角之间的等价替换可得∠OBM=∠MOB，∠OCN=∠NOC，即：OM=BM，ON=NC，又MN=OM+ON，即可得出BM、MN、NC存在的数量关系为：BM+NC=MN．
解答：BM、MN、NC存在的数量关系为：BM+NC=MN，如上图所示：
∵MN∥BC
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
又∵OB，OC分别为∠ABC、∠ACB的平分线
∴∠OBM=∠OBC，∠OCN=∠OCB
∴∠OBM=∠MOB=∠OBC，∠OCN=∠NOC=∠OCB
∴OM=BM，ON=NC
∴MN=OM+ON=BM+NC
所以，BM、MN、NC存在的数量关系为：BM+NC=MN．
点评：本题考查了平行四边形的性质，两直线平行内错角相等，关键在于利用等价替换求证BM+NC=MN．