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1.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=CO•CP;
(3)若PD=$\sqrt{3}$,求⊙O的直径.

分析 (1)连结OA、AD,如图,利用圆周角定理得到∠CAD=90°,∠ADC=∠B=60°,则∠ACD=30°,再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°,接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°,然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°,于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切;
(2)通过△ACO∽△PCA,得到$\frac{AC}{CP}$=$\frac{OC}{AP}$,由于AC=AP于是得到结论;
(3)连接AD,证得△AOD是等边三角形,得到∠OAD=60°,求得AD=PD=$\sqrt{3}$,得到OD=$\sqrt{3}$,即可得到结论.

解答 (1)证明:连结OA、AD,如图,
∵CD为直径,
∴∠CAD=90°,
∵∠ADC=∠B=60°,
∴∠ACD=30°,
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACD=30°,
∵∠AOD=2∠ACD=60°,
∴∠OAP=180°-60°-30°=90°,
∴OA⊥PA,
∴AP与⊙O相切;

(2)证明:∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°,
∴△ACO∽△PCA,
∴$\frac{AC}{CP}$=$\frac{OC}{AP}$,
∵AC=AP
∴AC2=CO.CP;

(3)解:连接AD,
∵AO=DO,∠ADC=60°,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠OAD=60°,
∴∠PAD=30°,
∴∠P=∠PAD,
∴AD=PD=$\sqrt{3}$,
∴OD=$\sqrt{3}$,
∴⊙O的直径CD=2$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质和判定,等边三角形的判定和性质,圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.

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