Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．

①求点P的坐标和PE的最大值．

②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①，P② M（，）或（，）

【解析】

（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）①根据A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+，根据二次函数的图像与性质即求解；

②根据点M在以AB为直径的圆上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2，求出，，AB2故可列出方程求解.

解：（1）∵B（1，0）

∴OB=1，

∵OC=2OB=2，

∴BC=3 ,C（﹣2，0）

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴=2，

∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，

设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），

∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+

∴当a=时，PE=,此时P(,)

②∵M在直线PD上，且P(,)，

∴

+

AB2=32+62=45，

∵点M在以AB为直径的圆上

此时∠AMB=90°，

∴AM2+BM2=AB2，

∴++=45

解得： ,

∴M（，）或（，）