Question

20．已知：如图一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求抛物线上存在点P，使S_△BDC=S_△PBC，求出P点坐标（不与已知点重合）；
（3）在x轴上存在点N，平面内存在点M，使得B、N、C、M为原点构成矩形时，请直接写出M点坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点B的坐标，然后将B、D的坐标代入二次函数的解析式求得b、c的值即可
（2）过点D作y轴平行线交BC与点F，过点P作PG∥y轴，交抛物线与点G．先求得DF的长，设点P（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1），则G（x，$\frac{1}{2}$x+1）．可求得GP的长（用含x的式子表示），然后依据△PBC的面积=△DBC的面积可得到DF=GP，然后列方程求解即可；
（3）先将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立可求得点C的坐标，当∠CBM=90°时．则BN的解析式y=-2x+1，然后可求得点N的坐标，然后利用中点坐标公式可求得点M的坐标；当∠CNM=90°时．CN的解析式为y=-2x+11，再求得点N的坐标，然后利用中点坐标公式可求得点M的坐标；当∠BNC=90°时，过点F作CF⊥x轴，垂足为F．设ON=a，则NF=4-a，先证明△BON∽△NFC，依据相似三角形的性质列出关于a的方程可求得a的值，然后利用中点坐标公式可求得点M的坐标．

解答 解：（1）将x=0代入一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的解析式得：y=1，
∴B（0，1）．
将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b+c+\frac{1}{2}=0}\end{array}\right.$，解得b=-$\frac{3}{2}$，c=1．
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．

（2）过点D作y轴平行线交BC与点F，过点P作PG∥y轴，交抛物线与点G．

将x=1代入直线BC的解析式得：y=$\frac{3}{2}$．
设点P（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1），则G（x，$\frac{1}{2}$x+1）．
∴GP=|$\frac{1}{2}$x+1-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1）|．
∵△PBC的面积=△DBC的面积，
∴DF=GP，即|$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x|=$\frac{3}{2}$．
当$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x=$\frac{3}{2}$时，解得：x=2+$\sqrt{7}$或x=2-$\sqrt{7}$．
∴点P的坐标为（2+$\sqrt{7}$，$\frac{7+\sqrt{7}}{2}$）或（2-$\sqrt{7}$，$\frac{7-\sqrt{7}}{2}$）．
当$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x=-$\frac{3}{2}$时，解得：x=3或x=1（舍去）．
∴点P的坐标为（3，1）．
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（2+$\sqrt{7}$，$\frac{7+\sqrt{7}}{2}$）或（2-$\sqrt{7}$，$\frac{7-\sqrt{7}}{2}$）．

（3）如图2所示：当∠CBM=90°时．则BN的解析式为y=-2x+1．

将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：x=0，y=1或x=4，y=3．
∴点C的坐标为（4，3）
将y=0代入得：-2x+1=0，解得：x=$\frac{1}{2}$．
∴点N的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．
设点M的坐标为（x，y）．
∵四边形BNMC为矩形，
∴$\frac{\frac{1}{2}+4}{2}$=$\frac{0+x}{2}$，$\frac{0+3}{2}=\frac{1+y}{2}$，解得x=$\frac{9}{2}$，y=2．
∴点M的坐标为（$\frac{9}{2}$，2）．
如图3所示：当∠CNM=90°时．

设CN的解析式为y=-2x+n，将点C的坐标代入得：-8+n=3，解得n=11，
∴CN的解析式为y=-2x+11．
将y=0代入得：-2x+11=0，解得x=$\frac{11}{2}$．
∴点N的坐标为（$\frac{11}{2}$，0）．
设点M的坐标为（x，y）．
∵四边形BNMC为矩形，
∴$\frac{0+5.5}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，$\frac{1+0}{2}$=$\frac{3+y}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-2．
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，-2）．
如图4所示：当∠BNC=90°时，过点F作CF⊥x轴，垂足为F．

设ON=a，则NF=4-a．
∵∠BNO+∠OBN=90°，∠BNO+∠CNF=90°，
∴∠OBN=∠CNF．
又∵∠BON=∠CFN，
∴△BON∽△NFC．
∴$\frac{ON}{CF}=\frac{OB}{NF}$，即$\frac{a}{3}=\frac{1}{4-a}$，解得：a=1或a=3，
当a=1时，点N的坐标为（1，0），设点M的坐标为（x，y）．
∵四边形BNMC为矩形，
∴$\frac{0+4}{2}$=$\frac{1+x}{2}$，$\frac{1+3}{2}=\frac{0+y}{2}$解得x=3，y=4．
∴点M的坐标为（3，4）．
当a=3时，点N的坐标为（3，0），设点M的坐标为（x，y）．
∵四边形BNMC为矩形，
∴$\frac{0+4}{2}$=$\frac{3+x}{2}$，$\frac{1+3}{2}$=$\frac{0+y}{2}$解得x=1，y=4．
∴点M的坐标为（1，4）．
综上所述，点M的坐标为（3，4）或（1，4）或（$\frac{3}{2}$，-2）或（$\frac{9}{2}$，2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积公式，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．