Question

已知a²+b²=1，-

2

≤a+b≤

2

，求a+b+ab的取值范围．

Answer 1

分析：由a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1得到ab=

(a+b)2-1

2

，设a+b=t，则-

2

≤t≤

2

，于是得到=a+b+ab=

(a+b)2-1

2

+a+b=

1

2

（t²-1）+t，配成顶点式为y=

1

2

（t+1）²-1，根据二次函数的最值问题和性质得到t=-1时，y有最小值为-1；t=

2

时，y有最大值，此时y=

1

2

（

2

+1）²-1，由此得到a+b+ab的取值范围．

解答：解：∵a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1，
∴ab=

(a+b)2-1

2

，
设a+b=t，则-

2

≤t≤

2

，
∴y=a+b+ab=

(a+b)2-1

2

+a+b=

1

2

（t²-1）+t=

1

2

t²+t-

1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴t=-1时，y有最小值为-1，
t=

2

时，y有最大值，此时y=

1

2

（

2

+1）²-1=

2 2 +1

2

，
∴-1≤y≤

2 2 +1

2

，
即a+b+ab的取值范围为-1≤a+b+ab≤

2 2 +1

2

．

点评：本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y=a（x-h）²+k，当a＜0时，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了二次函数的性质．