Question

在△ABC中，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．

（1）若∠BAC＝45°，EF＝4，则AP的长为多少？
（2）在（1）条件下，求阴影部分面积．
（3）试探究：当点P在何处时，EF最短？请直接写出你所发现的结论，不必证明．

Answer 1

（1）直径AP=2OE=（2）S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF（3）当AP⊥BC时，EF最短

试题分析：解：（1）连接OE、OF，则OE=OF
∵∠EOF=2∠EAF，而∠EAF=∠BAC=45°
∴∠EOF=90°
∴△EOF是等腰直角三角形
在Rt△EOF中
∴OE=OF=
∴直径AP=2OE=．
（2）S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF
．
（3）在Rt△AEP中，根据垂径定理和勾股定理知，当AP取最小值时，EF的值最小；又根据点到直线的距离垂线段最短垂线段最短知当AP⊥BC时，AP最短．所以当AP⊥BC时，EF最短．
点评：本题难度中等，主要考查学生对圆与三角形知识点的掌握与学习。做这类题型学生要注意培养数形结合的思维运用到考试中去。