【题目】如图1,已知平行四边形ABCD,BC∥x轴,BC=6,点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(﹣3,﹣4),点C在第四象限,点P是平行四边形ABCD边上的一个动点.
(1)若点P在边CD上,BC=CP,求点P的坐标;
(2)如图2,若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=﹣x+1上,求点P的坐标;
(3)若点P在边AB,AD,BC上,点E是AB与y轴的交点,如图3,过点P作y轴的平行线PF,过点E作x轴的平行线E,它们相交于点F,将△PEF沿直线PE翻折,当点F的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标.(直接写出答案)
【答案】(1);(2)P1(﹣3,﹣4),P2(5,4),P3(﹣1,0),P4(3,4);(3)(-,﹣3)或(2,4)或(,﹣4).
【解析】
(1)根据平行四边形性质可求得点C、D坐标,再利用待定系数法求直线CD解析式,根据点P在边CD上,BC=CP,可设P(t,2t10),运用两点间距离公式或勾股定理可建立关于t的方程,解方程即可求得P的坐标;
(2)先运用待定系数法求直线AB解析式和直线AD解析式,根据点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x+1上,分两种情况:①如图2,点P在边AB,AD上,点P关于x轴对称的点Q落在直线y=x+1上,②如图3,点P在边AB,AD上,点P关于y轴对称的点Q落在直线y=x+1上,分别求得点P的坐标即可;
(3)分三种情况:①若点P在边AB上,②若点P在边AD上,③若点P在边BC上,运用翻折性质、勾股定理分别求出点P的坐标.
解:(1)∵平行四边形ABCD
∴AD=BC=6,AB=CD,AB∥CD,AD∥BC
∵BC∥x轴,
∴AD∥x轴,
∵点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(﹣3,﹣4),点C在第四象限,
∴C(3,﹣4),D(7,4)
设直线CD解析式为y=kx+b,则 ,解得,
∴直线CD解析式为y=2x﹣10,
∵点P在边CD上,BC=CP,设P(t,2t﹣10),
则(t﹣3)2+[2t﹣10﹣(﹣4)]2=36,
解得:t1= (舍去),t2=,
∴P(,);
(2)∵A(1,4),B(﹣3,﹣4),D(7,4)
∴直线AB解析式为y=2x+2,直线AD解析式为y=4,
点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=﹣x+1上,分两种情况:
①如图2,点P在边AB,AD上,点P关于x轴对称的点Q落在直线y=﹣x+1上,
当点P在AB上时,设P(m,2m+2),则Q(m,﹣m+1)
∴2m+2+(﹣m+1)=0,
解得m=﹣3
∴P1(﹣3,﹣4),
当点P在AD上时,设P(m,4),则Q(m,﹣m+1)
∴4﹣m+1=0,
解得:m=5,
∴P2(5,4)
②如图3,点P在边AB,AD上,点P关于y轴对称的点Q落在直线y=﹣x+1上,
当点P在AB上时,设P(m,2m+2),则Q(﹣2m﹣1,2m+2)
∴m﹣2m﹣1=0,
解得:m=﹣1,
∴P3(﹣1,0)
当点P在AD上时,设P(m,4),则Q(﹣3,4),
∴m﹣3=0,
解得:m=3
∴P4(3,4),
综上所述,点P的坐标为:P1(﹣3,﹣4),P2(5,4),P3(﹣1,0),P4(3,4);
(3)在y=2x+2中,令x=0,则y=2,
∴E(0,2),
①若点P在边AB上,如图4设点P(m,2m+2),则F(m,2)
由翻折得:EF′=EF=﹣m,FF′⊥BE
设直线FF′解析式为y=k′x+b′,则k′=,
∴m+b′=2,解得:b′=m+2
∴直线FF′解析式为y=x+m+2,
令y=0,得x=m+4,
∴F′(m+4,0),
在Rt△OEF′中,OE2+OF′2=EF′2
∴22+(m+4)2=(﹣m)2,
解得:m=,
∴P(,﹣3),
②若点P在边AD上,如图5设P(m,4),则F(m,2),
由题意可知,△PEF沿直线PE翻折后,点F的对应点F′落在y轴上,
由翻折得:EF′=EF=m,∠PEF=∠PEF′
∵EF⊥y轴
∴∠FEF′=90°
∴∠PEF=∠PEF′=45°
∴△PEF是等腰直角三角形
∴EF=PF,即m=2
∴P(2,4),
③若点P在边BC上,如图6设PF交x轴于点G,P(m,﹣4),则F(m,2)
∴PF=6,EF=﹣m,PG=4,
由翻折得:EF′=EF=﹣m,PF′=PF=6
∵PF⊥x轴
∴F′G=,
∴F′(m+,0)
在Rt△OEF′中,OE2+OF′2=EF′2
∴22+ ( m+)2=m2,
解得:m= ,
∴P(,﹣4),
综上所述,点P的坐标为(,﹣3)或(2,4)或(,﹣4).
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【题目】中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。某天该深潜器在海面下1800米处作业(如图),测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点,此时测得海底沉船C的俯角为60°.
(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内?并说明理由;
(2)由于海流原因,“蛟龙”号需在B点处马上上浮,若平均垂直上浮速度为2000米/时,求“蛟龙”号上浮回到海面的时间.(参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】如图,AD∥BC,∠1=∠B,∠2=∠3.
(1)试说明AB∥DE;
(2)AF与DC的位置关系如何;为什么;
(3)若∠B=68°,∠C=46°20′,求∠2的度数.
注:本题第(1)、(2)小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式;第(3)小题要写出解题过程.
解:
(1)∵AD∥BC,(已知)
∴∠1=∠ . ( )
又∵∠1=∠B,(已知)
∴∠B=∠ ,(等量代换)
∴ ∥ . ( )
(2)AF与DC的位置关系是: .理由如下:
∵AB∥DE,(已知)
∴∠2=∠ . ( )
又∵∠2=∠3,(已知)
∴∠ =∠ .(等量代换)
∴ ∥ . ( )
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(﹣1,0)、B(0,2)、C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A',则A'C的最小值为( )
A.B.C.D.1
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
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【题目】如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,求该电线杆PQ的高度(精确到0.1 m).
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【题目】(14分)小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:
营业员A:月销售件数200件,月总收入2400元;
营业员B:月销售件数300件,月总收入2700元;
假设营业员的月基本工资为元,销售每件服装奖励元.
(1)求、的值;
(2)若某营业员的月总收入不低于3100元,那么他当月至少要卖服装多少件?
(3)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲3件,乙2件,丙1件共需350元;如果购买甲1件,乙2件,丙3件共需370元.某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元?
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