Question

19．等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点P从点A出发沿着两条直角边由A→C→B运动，连接AP，取线段AP的中点O，将线段PO绕着点P顺时针旋转90°，得到线段PD，当点D与A、B、C三点中的某两点成一直线时CP的长为0或4．

Answer 1

分析 需要分两种情况进行讨论：点D在BC的延长线上，此时点P与点C重合；点D在AC的延长线上，根据旋转的性质以及相似三角形的对应边成比例，列式计算即可得到CP的长．

解答 解：分两种情况：
①如图，当点D在BC的延长线上时，点P与点C重合，
此时CP=0；

②如图，当点D在AC的延长线上时，

∵O是AP的中点，
∴OP=$\frac{1}{2}$AP，
由旋转可得，DP=OP，∠OPD=90°，
∴DP=$\frac{1}{2}$AP，
∵∠ACP=∠APD=90°，∠CAP=∠PAD，
∴△ACP∽△APD，
∴$\frac{CP}{AC}$=$\frac{PD}{AP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CP}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=4，
故答案为：0或4．

点评 本题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．