Question

已知：如图，四边形ABCD，∠ACB=90°，E是AB上一点，且CE=AE，DE⊥AC于O，CD=BE
（1）求证：CE=AB．
（2）判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵CE=AE，DE⊥AC于O，
∴AO=CO，
∴△OCD≌△OAE，
∴CD=EA，
∵CD=BE
∴AE=BE，
∵∠ACB=90°，
∴CE=AB．

（2）四边形AECD为菱形．
证明：∵△OCD≌△OAE，
∴OA=OC，OD=OE，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵DE⊥AC于O，
∴四边形AECD为菱形．
分析：（1）证得AE=BE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可证明四边形AECD是菱形．
点评：本题考查了平行四边形及菱形的判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是充分挖掘题目中的已知条件证明三角形全等．