Question

已知实系数一元二次方程ax²+2bx+c=0有两个实根x₁、x₂，且a＞b＞c，a+b+c=0，若则d=|x₁-x₂|的取值范围为______．

Answer 1

∵实系数一元二次方程ax²+2bx+c=0有两个实根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

2b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
∴d²=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

2b

a

）²-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
解得：-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∵f（

c

a

）=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]的对称轴为：

c

a

=-

1

2

，
∴当-2＜

c

a

＜-

1

2

时，f（

c

a

）=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]是减函数，
∴3＜d²＜12，
∴

3

＜d＜2

3

，
即

3

＜|x₁-x₂|＜2

3

．