Question

20．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．
（1）当动点P落在第①部分时，如图1，过点P作PQ∥AC，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，如图2，过点P作PQ∥AC，求证：∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；
（3）当动点P落在第③部分时，且在直线AB右侧时，如图3，过点作PQ∥AC，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的等量关系，写出你发现的结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3））①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答 解：（1）如图，过点P向左作PQ∥AC，则∠APQ=∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=∠PBD，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，如图2，

理由是：过P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，
∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF=360°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
∴∠APB=360°-∠PAC-∠PBD，
∵∠APB≠180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）①当动点P在射线BA的右侧时，如图3，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

点评 考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，用了分类讨论思想，考查对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．