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12.如图,⊙O中,直径AB与弦CD相交,E是AC延长线上一点,连接BC、BD,且∠EBC=∠D.
(1)求证:EB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,且tanD=$\frac{1}{2}$,求CE的长.

分析 (1)证明∠ABE=90°,可得EB是⊙O的切线;
(2)根据等角的三角函数设CE=x,则BC=2x,AC=4x,利用勾股定理列方程可求得CE的长.

解答 证明:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵∠EBC=∠D,∠A=∠D,
∴∠EBC=∠A,
∴∠EBC+∠ABC=90°,
即∠ABE=90°,
∴EB是⊙O的切线;
(2)∵∠EBC=∠A=∠D,
∴tan∠D=tan∠EBC=tan∠A=$\frac{1}{2}$,
设CE=x,则BC=2x,AC=4x,
在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2
∴(4x)2+(2x)2=102
x=$±\sqrt{5}$,
∴CE=$\sqrt{5}$.

点评 本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理,熟练掌握切线的常见的辅助线的作法:①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;②有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.

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