Question

【题目】如图，在四边形中，，，，，，动点M从点B出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为.

（1）求的长.

（2）当时，求t的值

（3）试探究：t为何值时，为等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)10；(2)；（3）t=、t=或t=.

【解析】

（1）作梯形的两条高，根据直角三角形性质与矩形性质进一步求解即可；

（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质进一步求解即可；

（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以考虑三种情况，结合路程=速度×时间求得其中有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的方法进一步求解即可.

（1）

如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，作DH⊥BC于H，则四边形ADHK为矩形，

∴KH=AD=3，AK=DH，

在Rt△ABK中，

∴AK=ABsin45°==4，

又∵，

∴∠BAK=45°，

∴BK=AK=4，

∴DH=AK=4，

在Rt△CDH中，由勾股定理可得：

HC=，

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；

（2）

如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB为平行四边形，

∴BG=AD=3，

∴GC=BCBC=103=7，

由题意得，当M、N运动t秒后，CN=t，CM=102t，

∵AB∥DG，MN∥AB，

∴DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC，

又∵∠C=∠C，

∴△MNC~△GDC，

∴,

∴，

解得t=；

（3）第一种情况：当NC=MC时，如图③，

此时t=102t，

∴t=；

第二种情况：当MN=NC时，如图④，作NE⊥MC于E，DH⊥BC于H，

∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，

∴△NEC~△DHC，

∴，

即：，

解得：t=；

第三种情况：当MN=MC时，如图⑤，作DH⊥BC于H ，MF⊥CN于F，则FC=，

∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，

∴△MFC~△DHC，

∴，

即：，

解得：t=；

综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形.