Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，且，，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分，，求AC的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析(2)

【解析】

(1) 题干中由且可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则四边形BCDE是平行四边形，又知BE是直角三角形斜边的中线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则得到BE=ED，从而再用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

(2)通过 DE∥BC和 AC平分，可得到∠BAC=∠ACB，从而由等角对等边得到AB=BC=1，则此时直角三角形ABD，有一个执教不是斜边的一半，则可知这个直角边对应的角是30°，找到30°才是题目的突破口，然后依次得到角度的关系，证明得到三角形ACD是直角三角形，再用勾股定理解得AC的长.

(1)证明：∵DE∥BC且DE=BC（已知）

∴四边形BCDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又∵E为直角三角形斜边AD边的中点（已知）

∴BE=AD，即BE=DE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）

∴平行四边形四边形BCDE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

(2)

连接AC，如图可知：

∵DE∥BC（已知）

∴∠DAC=∠ACB（两直线平行内错角相等）

又∵AC平分（已知）

∴∠BAC=∠DAC（角平分线的定义）

即∠BAC=∠ACB（等量代换）

∴AB=BC=1（等角对等边）

由(1)可知：AD=2ED=2BC=2

在直角三角形中AB=1，AD=2

∴∠ADB=30°（直角三角形中，若一个直角边是斜边 一半，则这个直角边所对的角是30°）

∴∠BAD=60°（直角三角形两锐角互余）

即∠CAD=∠BAD=30°（角平分线的定义），∠ADC=2∠ADB=60°（菱形的性质）

所以三角形ADC是直角三角形.

则由可知：